拓?fù)鋬?yōu)化中采用增材制造填充構(gòu)件的結(jié)構(gòu)屈曲荷載提升設(shè)計(jì)

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增材制造技術(shù)(3D打印)可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的制備，填補(bǔ)了傳統(tǒng)工藝的制備盲區(qū)。拓?fù)鋬?yōu)化方法，眾所周知已成功用于航空航天和汽車行業(yè)的輕量化構(gòu)件的創(chuàng)新設(shè)計(jì)，提供了一個(gè)可充分利用增材制造帶來的設(shè)計(jì)自由度進(jìn)行靈巧設(shè)計(jì)的平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)與制造兩項(xiàng)技術(shù)的完美契合。然而，迄今為止，拓?fù)鋬?yōu)化方法在適應(yīng)增材制造技術(shù)的約束和帶來機(jī)遇方面的進(jìn)展非常有限。擠壓式增材制造技術(shù)，可制備不同于傳統(tǒng)實(shí)體結(jié)構(gòu)的內(nèi)含多孔結(jié)構(gòu)的固體殼結(jié)構(gòu)(圖1)，這也是其獨(dú)特的制備特點(diǎn)之一。

近期，本文作者提出了一種名為涂層方法的拓?fù)鋬?yōu)化方法。相比于僅可設(shè)計(jì)實(shí)心固體結(jié)構(gòu)  [圖1(a)]的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法，該方法可設(shè)計(jì)內(nèi)部填充多孔結(jié)構(gòu)固體殼結(jié)構(gòu)[圖1(b)]。研究表明，涂層方法雖無法提高結(jié)構(gòu)剛度，但可顯著改善屈曲載荷，提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。此外，該研究也表明拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)與增材制造工藝相結(jié)合具有巨大潛力。 利用傳統(tǒng)最小柔順性方法對(duì)部件進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，一般不考慮屈曲約束。因此，拓?fù)鋬?yōu)化所獲得的最優(yōu)設(shè)計(jì)往往是拉壓構(gòu)件配置結(jié)構(gòu)，回避抗彎構(gòu)件。

然而，構(gòu)件的屈曲載荷與其彎曲剛度密切相關(guān)(如桿的歐拉屈曲與其彎曲剛度成正比)，這些結(jié)構(gòu)最終破壞很可能是由于屈曲載荷，而不是材料的斷裂強(qiáng)度。當(dāng)結(jié)構(gòu)體分比較少時(shí)，該問題尤為顯著。 目前，一些工作試圖在最小柔順性拓?fù)鋬?yōu)化中考慮屈曲約束。所建議的方法要么未能獲得可信的設(shè)計(jì)結(jié)果，要么陷入最小特征值(屈曲荷載)附近大量模態(tài)聚集的困擾 。模態(tài)聚集意味著需要計(jì)算大量的特征值，導(dǎo)致不可承受的計(jì)算負(fù)擔(dān)。強(qiáng)制性的屈曲分析是作為優(yōu)化后的后續(xù)過程，而不是集成在優(yōu)化過程中的約束。如果發(fā)現(xiàn)構(gòu)件的穩(wěn)定性不足，則執(zhí)行后處理過程進(jìn)一步設(shè)計(jì)以提升臨界屈曲載荷。在這個(gè)過程導(dǎo)致設(shè)計(jì)為較優(yōu)結(jié)構(gòu)而非最優(yōu)結(jié)構(gòu)。 自然界中存在著大量具有較高屈曲荷載與重量比的結(jié)構(gòu)構(gòu)型。最典型的例子是動(dòng)物骨骼和植物的莖，它們是由柔軟多孔的內(nèi)部和堅(jiān)固的外殼組成。夾層結(jié)構(gòu)也應(yīng)用了相同的概念，其共同特征在于具有相對(duì)于質(zhì)量的較高的彎曲比剛度，因此具有較高的屈曲荷載。涂層方法利用相同的機(jī)理設(shè)計(jì)較高屈曲載荷的結(jié)構(gòu)構(gòu)型。正如本文所證實(shí)的，涂層方法提供了一種充分利用增材制造填充結(jié)構(gòu)，以提高結(jié)構(gòu)屈曲載荷的實(shí)現(xiàn)方式。本項(xiàng)研究包括數(shù)值和實(shí)驗(yàn)兩部分。

2. 方法
為證明填充結(jié)構(gòu)相對(duì)于相同質(zhì)量的實(shí)體結(jié)構(gòu)具有更好的屈曲性能，本文比較了以下兩種基于密度的拓?fù)鋬?yōu)化方法：
①基于投影的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法，其將產(chǎn)生一個(gè)幾乎完全黑白的結(jié)構(gòu)；
②涂層方法，其將產(chǎn)生內(nèi)含多孔填充結(jié)構(gòu)的固體殼結(jié)構(gòu)。采用拓?fù)鋬?yōu)化中的標(biāo)準(zhǔn)案例MBB梁(等厚簡支梁上端中部受集中載荷作用，詳細(xì)參考2.3節(jié))作為研究對(duì)象，比較了兩種拓?fù)鋬?yōu)化方法所得結(jié)構(gòu)的柔順性和屈曲荷載，并將屈曲分析的數(shù)值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。為方便闡述，本文針對(duì)二維結(jié)構(gòu)開展研究，但在實(shí)驗(yàn)研究中考慮了三維效應(yīng)，因而該研究可有效地?cái)U(kuò)展到三維結(jié)構(gòu)。
2.1.優(yōu)化問題
本文優(yōu)化問題為標(biāo)準(zhǔn)的一定體積約束下的最小柔順性問題，其有限元列式為

                 

(1) 其中，μ是設(shè)計(jì)變量向量；c是柔順度；K是整體剛度陣 (采用傳統(tǒng)基于密度法拓?fù)鋬?yōu)化中的定義方法：疊加插值后的單元?jiǎng)偠染仃嚨睦奂?；U和F分別是整體位移向量和載荷向量；g是體積約束；V(μ)是材料體積；V*是允許使用的最大材料體積。本文基于解析的敏度和移動(dòng)漸近線法(MMA)[8]更新設(shè)計(jì)變量。敏度的具體表達(dá)式在此不在贅述，詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)。

2.2. 涂層設(shè)計(jì)方法
傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法和涂層方法均可采用過濾方法實(shí)現(xiàn)宏觀結(jié)構(gòu)特征尺寸的控制。該過程包括基于偏微分方程(PDF)的密度過濾實(shí)現(xiàn)光滑化，以及基于中間密度場(chǎng)映射[10–12]方法實(shí)現(xiàn)光滑問題離散化。其中，光滑的程度取決于過濾半徑R(定義見參考文獻(xiàn)[11])，而映射過程由閾值η和陡峭度β決定。 除了控制宏觀特征尺寸，涂層方法可設(shè)計(jì)內(nèi)含多孔填充物的固體外殼結(jié)構(gòu)，表面厚度tref決定了結(jié)構(gòu)的固體外殼表面。本文將填充結(jié)構(gòu)等效為均質(zhì)結(jié)構(gòu)，其材料屬性為周期性填充結(jié)構(gòu)的等效宏觀屬性，為數(shù)值模型中計(jì)算精細(xì)的微觀結(jié)構(gòu)提供基礎(chǔ)。均質(zhì)化后的填充結(jié)構(gòu)屬性可通過密度和剛度兩個(gè)均勻化參數(shù)來描述，這兩個(gè)參數(shù)可通過固體材料性質(zhì)λm和λE的比值表示。為滿足材料的物理意義，兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系必須滿足Hashin-Shtrikman (HS)邊界。本文選取三角形填充結(jié)構(gòu)，并假定其性能滿足HS上界[14]。對(duì)于二維問題，填充結(jié)構(gòu)的密度和剛度的關(guān)系已在文獻(xiàn)[15]中給出，如圖1(c)所示：

(2) 需要注意的是，該關(guān)系基于固體材料的泊松比為1/3的假設(shè)。然而，對(duì)于體積分?jǐn)?shù)較低，以拉壓性能為主導(dǎo)的三角形蜂窩填充結(jié)構(gòu)，材料的泊松比的影響可忽略不計(jì)。

２．３． 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)
實(shí)驗(yàn)選擇標(biāo)準(zhǔn)案例MBB梁：一個(gè)長寬比為6:1的等厚簡支梁，上端中間受集中荷載作用。其數(shù)值優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖2(a)和2(b)所示。設(shè)計(jì)域尺寸為300 mm×50 mm，厚度為15 mm，體分比為25 %，采用大小為0.5 mm的雙線性四邊形單元離散。表面厚度tref取1 mm，光滑設(shè)計(jì)域時(shí)過濾半徑R=10 mm。優(yōu)化過程中利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性選用模型的一半，但是對(duì)于屈曲分析，為了找到非對(duì)稱模式，需要使用完整模型。本文選取相對(duì)剛度為20%的多孔材料即λE = 0.2，可根據(jù)公式(2)求解得到λm = 0.43，過濾和懲罰參數(shù)的取值參考文獻(xiàn)[16]。

2.4.部件制造
實(shí)驗(yàn)試件[如圖2(c)和(d)所示]采取美國Maskers Tool Works公司的Mendel Max2打印機(jī)制備，該打印機(jī)配有E3D v6的擠出熱噴頭，采用熔絲制造(FFF)技術(shù)。打印材料為丁苯乙烯丁烯橡膠(SEBS)†。該材料是一種具有500%的斷裂伸長率的熱塑性彈性體(IPE)材料，可提供充足的延展性以便在試件不斷裂的情況下觀察屈曲模態(tài)。由于SEBS是黏彈性材料，供應(yīng)商未提供其楊氏模量，其邵氏硬度A和邵氏硬度D的值分別表示為92和40。熔絲擠出層高為0.2 mm，寬度大約為0.5 mm。填充結(jié)構(gòu)的單胞尺寸是由擠出寬度(等于胞壁厚度)和宏觀密度 λm(見2.7節(jié))決定。作為一種熔絲技術(shù)，F(xiàn)FF工藝會(huì)產(chǎn)生具有一定各向異性的結(jié)構(gòu)部件，在熔融沉積成型(FDM)過程中可觀察到相同的現(xiàn)象。然而，為簡單起見，假定材料是各向同性線彈性材料，該假設(shè)合理性將在第4節(jié)中討論。材料的有效參數(shù)通過實(shí)驗(yàn)確定。 由于實(shí)際打印過程中填充結(jié)構(gòu)的密度比預(yù)設(shè)值43%高，制造出的多孔試件比預(yù)先設(shè)置的體積稍重一點(diǎn)。試件的蒙皮厚度可用數(shù)字測(cè)徑器測(cè)量，附加體積主要由于切片軟件設(shè)置與擠出熔絲寬度之間的非完美匹配引起的。因而，在數(shù)值模型計(jì)算中，通過給填充結(jié)構(gòu)分配額外的重量考慮其體積誤差。優(yōu)化過程中，選用20 %的填充結(jié)構(gòu)剛度，實(shí)際制備的填充結(jié)構(gòu)密度是固體的52 %，即填充結(jié)構(gòu)剛度為27 %。在有限元模型中，采用27 %的剛度值，并且與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)該有限的剛度增加對(duì)性能比較影響較小。

2.5.實(shí)驗(yàn)設(shè)置
實(shí)驗(yàn)測(cè)試由兩部分組成：
①確定有效的材料參數(shù)；
②確定屈曲荷載。該兩部分實(shí)驗(yàn)時(shí)選用不同的三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置，如圖3(a)和(c)
所示。為了確定材料參數(shù)，在梁的荷載處放置鋼支架，如圖3(a) 所示。荷載的增加通過在用繩子與鋼支架相連的籃子中增加100 g重量來實(shí)現(xiàn)(其中籃子在圖中不可見)，載荷位移可直接利用運(yùn)托架上精度為0.01 mm的千分表測(cè)量。由于在該試驗(yàn)中，梁的荷載始終處于線性范圍以內(nèi)，因此零點(diǎn)可任意設(shè)置。 實(shí)驗(yàn)件的屈曲荷載通過具有10 kN負(fù)荷傳感器的機(jī)電試驗(yàn)機(jī)(Instron 6022，改造于5500R)確定，如圖3(c)所示。屈曲分析中，控制位移加載速度為1.5 mm·min–1，并采用其他速度用于驗(yàn)證(見章節(jié)4)。數(shù)據(jù)采樣的速度為每秒20次。 之所以兩個(gè)實(shí)驗(yàn)采用不同的裝置，是因?yàn)橹挥挟?dāng)力高于20 N(誤差低于2 %)時(shí)，10 kN負(fù)荷傳感器是精確的。但是確定材料常數(shù)的力僅僅需要5 N。

2.6.屈曲數(shù)值分析

結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲時(shí)的荷載稱為臨界載荷，用Pc表示。線性屈曲問題可轉(zhuǎn)換為特征值問題求解，其有限元分析(FEA)列式為：

幾何剛度矩陣Kσ(uref)與參考載荷作用下的線性靜力位移(應(yīng)力)相關(guān)，可通過求解Kuref = Fref獲得。臨界載荷Pc等于參考荷載與最小特征值λc的乘積。相關(guān)屈曲模態(tài)通過Φ獲得。需要注意的是對(duì)于線性屈曲問題，只能獲得相關(guān)模態(tài)，無法得到實(shí)際振幅(和實(shí)際位移)。 初步試驗(yàn)表明，多孔結(jié)構(gòu)將會(huì)產(chǎn)生面外屈曲模態(tài)。為與實(shí)際模型進(jìn)行比較，在Abaqus中建立三維模型替代優(yōu)化中使用的二維數(shù)值模型，并采用八節(jié)點(diǎn)六面體單元(Abaqus C3D8單元)離散。二維模型離散所使用的方形單元在三維模型(x和y方向)中繼續(xù)使用。樣本沿z方向拉伸15 mm形成三維模型，為了減少自由度數(shù)目，模型在z方向上單元長度是平面單元長度的2倍。

最后離散結(jié)構(gòu)的單元尺寸為0.5 mm×0.5 mm×1.0 mm。數(shù)值模型使用具有均質(zhì)填充性質(zhì)的固體材料模擬填充結(jié)構(gòu)，而不是實(shí)際打印出的三角形結(jié)構(gòu)。這部分假設(shè)將在第4節(jié)討論。 載荷均布加載在一個(gè)小面域內(nèi)，其內(nèi)部含有80個(gè)節(jié)點(diǎn)。除了二維問題中定義的邊界條件，約束中心載荷節(jié)點(diǎn)面外運(yùn)動(dòng)(u3 = 0)。該邊界條件還對(duì)應(yīng)于力傳動(dòng)裝置與試驗(yàn)試件之間的摩擦作用，可防止面外屈曲模態(tài)。 首先，求解方程(3)定義的特征值問題(Abaqus：“線性擾動(dòng)，屈曲”)。使用弧長法追蹤結(jié)構(gòu)的幾何非線性響 應(yīng)，對(duì)特征值分析細(xì)化(Abaqus：“靜態(tài)，弧長”)。對(duì)于每個(gè)工況，引進(jìn)非對(duì)稱載荷擾動(dòng)模擬缺陷，其大小是特征值分析中預(yù)測(cè)得到的屈曲荷載的1%。在這里提到屈曲載荷值都是非線性分析的結(jié)果，所有工況非線性分析都比線性分析低2%以下。


2.7.填充結(jié)構(gòu)的屈曲性質(zhì)
盡管我們的假設(shè)是當(dāng)填充結(jié)構(gòu)的百分比減少時(shí)，宏觀的屈曲載荷將顯著提升，但是其結(jié)構(gòu)將易發(fā)生局部屈曲。三角形填充結(jié)構(gòu)的“屈曲強(qiáng)度”可由一般宏觀面內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)預(yù)測(cè)。 圖4(a)為三角形填充結(jié)構(gòu)，圖4(b)為單胞放大圖，其中三角形邊長為L，單胞壁厚為t，并且三角形的方向與所使用的物理模型一致。三角形填充結(jié)構(gòu)的屈曲強(qiáng)度取決于比值(t/L)3[19]。當(dāng)已知正三角形的形狀和常數(shù)參數(shù)時(shí)，L、t和λm中只有兩個(gè)參數(shù)是獨(dú)立的。忽視三角形在交界處的結(jié)構(gòu)重疊效應(yīng)，第三個(gè)參數(shù)與另外兩個(gè)參數(shù) 線性相關(guān)。因此，填充結(jié)構(gòu)的屈曲強(qiáng)度取決于λ3m。 盡管假設(shè)填充結(jié)構(gòu)的彈性性質(zhì)為線性各向同性，然而屈曲強(qiáng)度與主應(yīng)力方向相關(guān)。對(duì)于沿著三角形蜂窩墻壁方向的單軸載荷，屈曲強(qiáng)度可通過簡化的表達(dá)式計(jì)算。

假設(shè)荷載與x軸平行，則屈曲強(qiáng)度為

下面將討論如何建立本文設(shè)計(jì)所需要的填充結(jié)構(gòu)的屈曲強(qiáng)度，其中填充密度范圍為
λm  (0,1]。需要注意的是，一些假設(shè)被引入本文所研究的設(shè)計(jì)問題中。 完全實(shí)體結(jié)構(gòu)可近似為一個(gè)三角形布局的框架模型，甚至是桁架模型，這是由于拓?fù)鋬?yōu)化方法的本質(zhì)造成的，此時(shí)材料分布使任意內(nèi)部結(jié)構(gòu)的彎曲最小。

主應(yīng)力(絕對(duì))值分布[如圖4(b)所示]也證明了這一結(jié)論，除了個(gè)別梁的橫截面由于離散產(chǎn)生少許不規(guī)則現(xiàn)象，其他大多數(shù)梁都是滿足的。  假定填充密度對(duì)于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)沒有影響，與完全實(shí)體模型獲得的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)相同；假設(shè)任意填充密度的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)可采用完全相同的線性桁架結(jié)構(gòu)建模，并且桁架的正應(yīng)力在給定的外載荷下不發(fā)生變化。但是，從完全實(shí)體結(jié)構(gòu)到具有較小均質(zhì)剛度的內(nèi)部多孔結(jié)構(gòu)，桁架的截面積發(fā)生變化。這意味著對(duì)于任意一個(gè)桿件，填充結(jié)構(gòu)的宏觀軸向應(yīng)力會(huì)比完全實(shí)體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力低，可通過一個(gè)與表面厚度和填充結(jié)構(gòu)密度有關(guān)的因子表示，盡管實(shí)體殼中的應(yīng)力會(huì)高一些。通過對(duì)完全固體結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的桁架模型面內(nèi)應(yīng)力乘以“填充應(yīng)力參數(shù)” [參見圖4(c)]，可獲得任意填充密度的多孔結(jié)構(gòu)桿對(duì)應(yīng)的面內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)。

圖4(d)中箭頭指向的桿(或者鏡像于垂直對(duì)稱線的桿)在所有壓縮桿件中主應(yīng)力絕對(duì)值最大。這個(gè)桿近似滿足x軸方向單軸壓縮，因此，其屈曲強(qiáng)度可采用表達(dá)式(4)表示。這個(gè)表達(dá)式與桿的正壓力之間的比值，對(duì)應(yīng)于一個(gè)單位荷載來提供任何填充結(jié)構(gòu)密度的臨界載荷。 此外，固體殼也可能在宏觀失穩(wěn)之前發(fā)生局部屈曲，但是，本次實(shí)驗(yàn)中并沒有建模研究殼的屈曲強(qiáng)度。 3.結(jié)果 本節(jié)主要介紹數(shù)值分析結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果誤差的分析將在第4節(jié)中討論。根據(jù)本文優(yōu)化問題的定義，所有的力和位移值都只考慮中心加載點(diǎn)(頂部中心節(jié)點(diǎn))的垂直分量。

3.1.等效材料參數(shù)
本文通過實(shí)體模型確定等效的泊松比ν0和楊氏模量E0值，來校核數(shù)值模型的準(zhǔn)確性。假設(shè)材料為線彈性，那么泊松比和楊氏模量均為常數(shù)。根據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論，多孔材料的等效剛度遵循HS上邊界[方程(2)]。 已知SEBS的泊松比接近0.5，與橡膠類似。為了評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)泊松比的敏感程度，將只改變泊松比的兩個(gè)相同Abaqus模型運(yùn)行兩次，其中泊松比分別為ν0= 0.45和 ν0 = 0.49。數(shù)值結(jié)果表明，單位荷載可導(dǎo)致0.1%的位移偏差，該值可表征材料模量E0的不確定程度；第一階臨界荷載相差1%。這些不確定性相比與其他誤差來源來說很小。這一結(jié)果證實(shí)了本文前面的假設(shè)，拓?fù)?優(yōu)化結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件主要處于純拉伸或純壓縮狀態(tài)，泊松比的影響較小。因此，可以簡單地認(rèn)為泊松比ν0 = 0.49。 通過擬合數(shù)值模型的響應(yīng)和實(shí)驗(yàn)觀察到的響應(yīng)可確定等效的楊氏模量E0。

圖3(b)所示為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的力–位移曲線，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)力加載至5.3 N時(shí)，它是完全線性的。測(cè)得六個(gè)測(cè)量點(diǎn)的一系列值，用它們的平均值擬合曲線，誤差線表征了測(cè)得的最小值和最大值。曲線斜率為aexp = 5.92 N·mm–1 ，相關(guān)系數(shù)的平方值為R2 = 0.9999。雖然采用了幾何非線性梁模型進(jìn)行數(shù)值模擬，但在數(shù)值模型中也發(fā)現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的線性關(guān)系。因此，楊氏模量可以用單個(gè)力–位移關(guān)系來獲得，如采用單位載荷(1 N)，通過關(guān)系 (1 N)/uout = aexp 就可以得到，其中，uout是輸出位移。擬合得到彈性模量為E0 = 65.7 MPa，考慮到材料的黏彈性性質(zhì)，這個(gè)數(shù)字在制造商提供的邵氏硬度值的預(yù)期范圍內(nèi)。  圖3(b)中的力–位移圖還包含了多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)。與上述實(shí)驗(yàn)一致，可再次測(cè)得到一個(gè)近乎完美的線性關(guān)系(R2 = 0.9994)。多孔結(jié)構(gòu)的測(cè)量剛度比實(shí)體結(jié)構(gòu)的小10 %，多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析預(yù)測(cè)剛度比測(cè)量值小6 %，將在第4節(jié)中將具體討論這種微小偏差的原因。需要注意的是，以上模型的數(shù)據(jù)參考實(shí)際打印結(jié)構(gòu)，即選取27%固體填充剛度，而不是固體結(jié)構(gòu)20%的剛度。使用20 %剛度的數(shù)值分析表明，填充結(jié)構(gòu)剛度比實(shí)體結(jié)構(gòu)小23 %。

3.2.屈曲性能
對(duì)于屈曲分析，需要注意本文是采用二維模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，因而主要研究其面內(nèi)性能。在第4節(jié)中將討論數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的偏差。 屈曲分析的結(jié)果匯總在圖5中。在圖5(a)中給出了數(shù)值計(jì)算的實(shí)心結(jié)構(gòu)與多孔結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)，并與實(shí)驗(yàn)得到的屈曲荷載進(jìn)行比較。 對(duì)于實(shí)心結(jié)構(gòu)，數(shù)值屈曲載荷為23.2 N，實(shí)驗(yàn)的屈曲載荷為29.8 N，其對(duì)應(yīng)的模態(tài)形狀是非常相似的，如圖5(d)和(g)所示。跟預(yù)想的一樣，初始屈曲最早出現(xiàn)在具有最高正應(yīng)力的桿件處，即圖4(d)中的箭頭所指桿。 對(duì)于多孔結(jié)構(gòu)，平面外扭曲模態(tài)出現(xiàn)在一階面內(nèi)屈曲模態(tài)之前，屈曲載荷為64.3 N，如圖5(f)所示。在三維數(shù)值模型中，面外的平移運(yùn)動(dòng)僅在單一荷載節(jié)點(diǎn)處受到約束，因而扭曲模態(tài)也能出現(xiàn)。該模型在施加荷載為65.1 N時(shí)，平面外模態(tài)與實(shí)測(cè)結(jié)果幾乎相同，如圖5(a)和(c)所示。本文中只考慮多孔結(jié)構(gòu)的一階面內(nèi)屈曲模態(tài)。為了防止扭轉(zhuǎn)模態(tài)出現(xiàn)，兩個(gè)U形鋼支架安裝在多孔試樣周圍，U形鋼架間距15.2 mm，如圖5(e)所示。支架腿寬19 mm，對(duì)稱地放置在距離組件65 mm遠(yuǎn)的中心平面處。一個(gè)10 kg的總重量(對(duì)應(yīng)100 N)被附在傳遞荷載的鋼支架處，支架與試樣之間的摩擦并未明顯約束試樣的位移形變。如圖5中所示，多孔結(jié)構(gòu)在這個(gè)荷載下仍然沒有屈服，但是開始發(fā)生局部失穩(wěn)。因此，我們無法從實(shí)驗(yàn)獲得面內(nèi)失穩(wěn)模態(tài)，利用數(shù)值模型可以確定面內(nèi)屈曲載荷為126 N。盡管多孔結(jié)構(gòu)和實(shí)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳煌�，但是多孔結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模態(tài)應(yīng)與實(shí)心結(jié)構(gòu)類似，如圖5(b)所示。面外扭曲模態(tài)的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值結(jié)果的高度一致，也進(jìn)一步支持了數(shù)值模型給出的面內(nèi)屈曲荷載的正確性。 由于面外屈曲模態(tài)并未做任何改變只是簡單地由人為從二維模型拉伸為三維模型，需要比較面內(nèi)屈曲模態(tài)所對(duì)應(yīng)的臨界荷載值來衡量結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。數(shù)值計(jì)算表明，多孔結(jié)構(gòu)的屈曲載荷比實(shí)心模型高5.4倍。圖中也給出了面外扭曲模態(tài)的臨界荷載值，進(jìn)一步表明數(shù)值方法確定面內(nèi)屈曲臨界荷載的正確性。

3.3.填充密度的影響
圖6比較了之前提出的兩種結(jié)構(gòu)和另外三種結(jié)構(gòu)的數(shù)值性能，這三種結(jié)構(gòu)使用相同的參數(shù)和體積約束優(yōu)化獲得，但是填充結(jié)構(gòu)的剛度分別為40%、60%和80%，這些剛度值對(duì)應(yīng)的體積密度分別為67%、82%和92%，如圖6(a)。圖6(b)中屈曲荷載值采用二維線性屈曲分析確定，具體見第2.6節(jié)中所述。二維模型給出的屈曲荷載值略低；但是，由固體結(jié)構(gòu)和多孔結(jié)構(gòu)三維模型所得的面內(nèi)屈曲荷載的比值非常接近(5.3而不是5.4的比例)。 顯然，當(dāng)使用較低的填充率時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度降低接近線性(即柔度增加)，屈曲荷載顯著提高。上述結(jié)果的原因在于填充率較低的結(jié)構(gòu)組件寬度較大，彎曲剛度按照組件中心軸垂直距離的三次方增加；而填充比例較高時(shí)，對(duì)改進(jìn)屈曲荷載影響很小，其原因是HS邊界曲線有一個(gè)陡峭的斜坡，接近ρ= 1，這意味著犧牲剛度只能收益一點(diǎn)點(diǎn)梁的寬度。值的注意得是，與其他四種結(jié)構(gòu)相比，λE = 0.2的結(jié)構(gòu)拓?fù)洳煌�不是高屈曲載荷的唯一原因：采用不同的初始猜測(cè)會(huì)導(dǎo)致與實(shí)體結(jié)構(gòu)相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。結(jié)果表明這種結(jié)構(gòu)的臨界荷載比實(shí)心結(jié)構(gòu)高4.5倍，而不是5.3倍。 圖6(b)給出了填充結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性極限的估計(jì)曲線，它是填充密度的函數(shù)，具體方法如2.7節(jié)中所述。只有相對(duì)屈曲荷載低于這條曲線，宏觀結(jié)構(gòu)才有望保持局部穩(wěn)定性。

4. 討論
實(shí)驗(yàn)結(jié)果清楚地驗(yàn)證了我們的假設(shè)，與傳統(tǒng)最小柔順性方法的優(yōu)化結(jié)構(gòu)相比，利用涂層方法的增材制造多孔填充結(jié)構(gòu)，屈曲荷載顯著提高，但是依舊存在一些小的偏差。 數(shù)值模型的兩個(gè)主要假設(shè)分別是SEBS是線彈性材料，以及填充結(jié)構(gòu)是均勻的和各向同性的，且滿足HS上邊界。

關(guān)于假設(shè)打印出的SEBS是線彈性材料，這是一種簡單的理想化，至少忽略了三方面的影響：
①黏彈性，在整個(gè)試驗(yàn)中可以觀測(cè)到；
②楊氏模量的應(yīng)變相關(guān)性，在276Author name et al. / Engineering 2(2016) xxx–xxx 給定的簡單實(shí)驗(yàn)裝置中與黏彈性的影響難于區(qū)分；
③熔 絲打印技術(shù)產(chǎn)生的各向異性。 黏彈性表現(xiàn)在依賴于應(yīng)力–應(yīng)變曲線的變形率和蠕變的顯著程度。

用圖3(a)所示的手動(dòng)設(shè)置過程確定E0，為了使蠕變效應(yīng)最小，施加瞬態(tài)荷載。用圖3(c)中的實(shí)驗(yàn)機(jī)測(cè)量屈曲荷載，隨后獲得了采用較高應(yīng)變速率(5 mm·min–1)的測(cè)量值和使用手動(dòng)設(shè)置得到的測(cè)量值。前者的屈曲荷載稍高，后者的屈曲荷載稍低，但兩者測(cè)量結(jié)果是在報(bào)告值的10%以內(nèi)�；�于這些觀察，黏彈性效應(yīng)被認(rèn)為是試驗(yàn)中不確定性的主要來源。如果不考慮這些影響，測(cè)量位移將會(huì)趨于過高估計(jì)，也就是說擬合的楊氏模量和數(shù)值確定的屈曲載荷將會(huì)估計(jì)偏低，這或許可以解釋測(cè)量實(shí)心結(jié)構(gòu)的一些偏差。


楊氏模量的應(yīng)變相關(guān)性可在兩個(gè)方向上影響數(shù)值計(jì)算結(jié)果。正如前面提到的，這部分的影響很難在現(xiàn)有的簡單測(cè)試裝置情況下與黏彈性影響區(qū)分開。 熔絲打印技術(shù)產(chǎn)生的各向異性對(duì)于多孔結(jié)構(gòu)的影響可以忽略，因?yàn)榇蛴〗Y(jié)構(gòu)表面和內(nèi)部填充時(shí)，擠出路徑都是平行于局部傳力路徑方向，并且只有兩個(gè)對(duì)于表面和一個(gè)用于填充結(jié)構(gòu)的熔絲路徑。因此，各向異性主要與實(shí)體結(jié)構(gòu)相關(guān)；然而，這種影響在框架結(jié)構(gòu)中不是關(guān)鍵的，因?yàn)榇蛴∷�有的桿件時(shí)都是相同的擠出模式：界面采用縱向打印方式，而內(nèi)部采用橫向打印方式。在某種意義上，由于各向異性，固體結(jié)構(gòu)可看作是內(nèi)部剛度稍微降低的全密度的多孔材料，然而，剛度減少的估計(jì)超過了本文的范圍，并且一定程度上，這種影響可通過擬合等效材料參數(shù)進(jìn)行有效處理。需要注意的是，當(dāng)拓展到三維設(shè)計(jì)時(shí)，各向異性的影響在垂直于層的方向比所述層的平面內(nèi)更強(qiáng)。然而，各向異性的程度取決于增 材制造技術(shù)的選擇，并且在一定程度上可以通過熱處理緩解。


此外，假設(shè)填充結(jié)構(gòu)是均質(zhì)、各向同性，且滿足HS上邊界是相當(dāng)簡化的。在實(shí)際打印時(shí)，三角形填充結(jié)構(gòu)顯然不能從宏觀結(jié)構(gòu)尺度上分離出來，這就意味著填充結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)認(rèn)為是單獨(dú)的結(jié)構(gòu)部件，而不是均質(zhì)材料。但是，例如在參考文獻(xiàn)，當(dāng)使用某些單胞時(shí)，認(rèn)為其均質(zhì)性質(zhì)可看成是一個(gè)合理的近似。此外，沿著結(jié)構(gòu)邊緣填充三角幾何形狀較差，從而導(dǎo)致材料分布不均勻，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)果不精確，特別是對(duì)于比較細(xì)的結(jié)構(gòu)。內(nèi)部填充結(jié)構(gòu)的缺陷性是多孔結(jié)構(gòu)的各向異性的重要來源。 數(shù)值模型和實(shí)驗(yàn)之間兩個(gè)最重要的偏差是實(shí)體結(jié)構(gòu)的數(shù)值屈曲荷載比實(shí)驗(yàn)值小約20%，多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)值預(yù)測(cè)剛度比實(shí)驗(yàn)測(cè)量剛度低6%。相比于屈曲荷載的5倍的增加量，這些偏差較小，無法改變?cè)撗芯康慕Y(jié)論。顯然，屈曲荷載的增益是涂層方法所固有的，并不限制于MBB梁。圖6(b)是填充結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性曲線，可看出20%的填充剛度結(jié)構(gòu)可能是接近于最佳的局部和全局屈曲強(qiáng)度之間的權(quán)衡。然而需要注意的是，這個(gè)說法是建立在總體假設(shè)的前提下，不僅僅涉及所述的填充結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性曲線的推導(dǎo)假設(shè)，還有該填充結(jié)構(gòu)是均勻、各向同性，且滿足HS上限的假設(shè)。


5. 結(jié)論
本文證實(shí)了涂層拓?fù)鋬?yōu)化方法可以用于設(shè)計(jì)增材制造填充構(gòu)件，并且相比標(biāo)準(zhǔn)最小柔順性方法進(jìn)行優(yōu)化的結(jié)構(gòu)，屈曲性能大幅度提高。在特定的MBB梁算例中，多孔結(jié)構(gòu)的屈曲荷載比實(shí)體結(jié)構(gòu)高5倍以上，而剛度下降20 %~25%。屈曲載荷提高的原因是由于多孔結(jié)構(gòu)的引入增大了結(jié)構(gòu)部件的寬度，進(jìn)而提升了比彎曲剛度。 增材制造實(shí)驗(yàn)試件的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果支撐了數(shù)值結(jié)果。然而測(cè)量結(jié)果與一些不確定性相關(guān)，主要是關(guān)于實(shí)驗(yàn)試件材料屬性的粗略假設(shè)，但結(jié)果的趨勢(shì)十分明顯，與性能差異相比，這種偏差很小。 繼本文研究工作之后，探討一下未來的相關(guān)工作。多孔組件能夠得到如此高的面內(nèi)屈曲荷載，這是由于結(jié)構(gòu)發(fā)生局部屈曲(由于集中荷載)而不是整體失穩(wěn)。一般來說，如果填充密度選擇過低，在結(jié)構(gòu)發(fā)生整體失穩(wěn)之前，填充結(jié)構(gòu)處會(huì)出現(xiàn)局部屈曲。因此，今后我們需要設(shè)計(jì)完全的三維結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)，研究多孔材料的面外屈曲性能。 本文研究證明了拓?fù)鋬?yōu)化方法適合增材制造這一特殊制造手段的可能性，也彰顯了該方法對(duì)于顯著改善結(jié)構(gòu)性能的重要作用。